Чеботарёв, Николай Григорьевич
Теория Галуа и алгебраические числа
Главный результат в теории Галуа, полученный Чеботаревым, состоит в решении проблемы Фробениуса об определении плотности множества простых чисел, при надлежащих заданному классу автофизмов группы Галуа нормального расширения поля рациональных чисел. Еще в древности, во времена Евклида, была поставлена задача найти закон распределения простых чисел в натуральном ряде 1, 2. 3, 4, 5, То что простых чисел бесконечное множество, доказывается просто и было известно Евклиду, но закономерность их расположения не удавалось установить на протяжении более двух тысяч лет, несмотря на усилия выдающихся математиков. Так как натуральный ряд чисел 1. 2. 3,.. является арифметической прогрессией с разностью, равной единице, то получается, что в этой прогрессии лежит бесконечное множество простых чисел, а именно, все простые числа. Если взять арифметическую прогрессию общего вида mx+a,где наибольший общий делитель (m,a) неравен 1, то такая прогрессия не содержит ни одного простого числа. Остается случай, когда s=1.В 1937 Г. Дирихле доказал одну из глубоких теорем теории чисел: "В прогрессии mx+а, где (m,а)=1. лежит бесконечно много простых чисел". При решении этой задачи Дирихле ввел понятие плотности множеств простых чисел. Плотность множества всех простых чисел равна единице откуда следует, что плотность любого подмножества простых чисел не превосходит единицы. Дирихле доказал, что в прогрессиях простые числа распределены с одинаковой плотностью и указал численное значение этой плотности. Фробениус поставил следующую задачу: определить плотность множества простых чисел, принадлежащих заданному классу подстановок произвольного нормального расширения поля рациональных чисел. Эту задачу Фробениусу решить не удалось, он решил другую, более частную: нашел плотность множества простых чисел принадлежащих другую, болеелегкую: нашел плотность множества простых чисел принадлежащих к отделу группы Галуа. Но теорема Фробениуса не является обобщением теоремы Дирихле на любые поля алгебраических чисел. В 1922 г. Чеботарев решил проблему Фробениуса, доказав более общую теорему. Теорема Чеботарева является обобщением теоремы Дирихле на поля алгебраических чисел. При решении проблемы Фробениуса Николай Григорьевич применил созданный им метод присоединения к нормальному полю К поля деления круга W-метод, сыгравший выдающуюся роль в прогрессе теории алгебраических чисел. Этот метод в 1927 г. позволил Э.Артину доказать свой закон взаимности, что давало возможность отобразить арифметические свойства поля К в его группу Галуа аналогично основной теореме теории Галуа. отражающей алгебраические свойства поля К в группу Галуа. После доказательства артиновского закона взаимности теория полей классов была перестроена коренным образом. Работа Н.Г.Чеботарева впервые была опубликована в 1923 г. в Известиях Российской академии наук и в переводе на немецкий язык в журнале "Math.Ann." в 1925 г. и сразу же привлекла внимание математиков как советских, так и зарубежных, занявшихся улучшением и упрощением доказательства теоремы Чеботарева. Насколько важное значение имеет закон о плотностях простых чисел, доказанный Николаем Григорьевичем. можно судить по тому, что и в настоящее время пределы его применения все более расширяются; он применяется в проблеме построения полей с заданной группой Галуа, в теории абелевых l-адических представлений полей, в современном изложении теории Галуа и теории полей классов. Подробный комментарий к работе Чеботарева о плотности дан И.Р.Шафаревичем (см.: Чеботарев Н.Г. Собр. соч., т. 3).В области теории алгебраических чисел Чеботаревым написано свыше десяти работ, которые по служили отправной точкой для исследований молодых математиков. Отметим хорошо известную классическую задачу древности, поставленную еще Гиппократом и привлекавшую внимание крупнейших математиков на протяжении двух с половиной тысяч лет, задачу о квадрировании круговых луночек при помощи циркуля и линейки. Основная роль в решении этой задачи принадлежит Чеботареву. который решил ее благодаря синтезу результатов Дедекинда. Оре и других. В 1934 г. Николай Григорьевич решил задачу для случая, когда отношение угловых мер дуг, ограничивающих луночку, соизмеримо и равно m/n, где m,n- взаимно простые и оба нечетные, а в 1947 г. его ученик А.В.Дороднов исследовал вторую половина задачи, когда одно из чисел m,n - четное. Так была решена геометрическая задача методом современной алгебры.