Лобачевский, Николай Иванович
Появление неевклидовой геометрии
Введение
Постулаты Евклида Евклид - автор первого дошедшего до нас строгого
логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно
для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его
труда "Начал" оно было единственным руководством для изучающих
геометрию.
"Начала" состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в
геометрическом изложении.
Каждая книга "Начал" начинается определением понятий, которые
встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23
определения. Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы,
то есть утверждения, принимаемые без доказательства.
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V
постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных
привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным
помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с
относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном
виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей
плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при
бесконечном продолжении прямых.
Попытки доказательства V постулата Евклида
Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В
пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений
"Начал" не опираются на V постулат. Евклид как бы старался отодвинуть
применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет
настоятельно необходимым. Одни математики старались доказать постулат о
параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые
можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие
попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в
доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение,
равносильное доказываемому постулату.
Появление неевклидовой геометрии
Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида
привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от
евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия
теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского,
который впервые опубликовал работу с ее изложением.
И одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского
(1792-1856) был как раз его материалистический подход к проблемам
познания. Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем
от человеческого сознания существовании материального мира и в
возможности его познания. В речи "О важнейших предметах воспитания"
(Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона:
"оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю
мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы
ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно". В своем
сочинении "О началах геометрии", являющемся первой публикацией открытой
им геометрии, Лобачевский писал: "первые понятия, с которых начинается
какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему
числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием
учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным - не должно
верить". Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере
геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом.
Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823
году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит
от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал
на заседании факультета казанского университета доклад "Сжатое изложение
начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных", в
котором были изложены начала открытой им "воображаемой геометрии", как
он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии.
Доклад 1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по
неевклидовой геометрии - статьи "О началах геометрии", напечатанной в
журнале Казанского университета "Казанский вестник" в 1829-1820гг.
дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены
мемуары "Воображаемая геометрия", "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам" и "Новые начала геометрии с полной
теорией параллельных", опубликованные в "Ученых записках" соответственно
в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст "Воображаемой
геометрии" появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г.
вышли отдельной книгой на немецком языке "Геометрические исследования по
теории параллельных линий" Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он
издал в Казани на русском и французском языках "Пангеометрию".
Высоко оценил "Геометрические исследования" Гаусс, который провел
Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого
общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства.
Однако в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не
выступил.
Развитие евклидовой геометрии Коллега Лобачевского по Казанскому
университету П.И. Котельников (1809-1879) в своей актовой речи 1842 г.
открыто заявил: "не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные
попытки доказать со всей математической строгостью одну из основных
теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике
двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего
университета предпринять изумительный труд - построить целую науку,
геометрию, на новом предложении. За исключением этого выступления
неизвестны другие официальные положительные отзывы о Лобачевском, как о
творце новой геометрии. Гаусс же, как уже говорилось, избегал публикации
своих открытий. Ситуация изменилась только в 60-х годах XIX века.
Несмотря на враждебное отношение отдельных влиятельных математиков
старших поколений, к изучению и разработке неевклидовой геометрии
приступает все большее число выдающихся молодых ученых. Некоторую роль в
этом сыграло посмертное издание писем Гаусса. В Европе идеи неевклидовой
геометрии воспринимаются с энтузиазмом, появляются переводы трудов
Лобачевского. Меняется отношение к новой геометрии и в России.
Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной
математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя
Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше
была установлена вязь 5 кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией
Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения
скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса
(подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году
Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения
отрезков на плоскости Лобачевского. Предположение Лобачевского, что
реальные геометрические отношения зависят от физической структуры
материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах.
Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает
необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам
микромира.
Заключение Новая система геометрии не получила признания при жизни ее
творцов. Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с
тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией
параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои
взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в
его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме
к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: "Я радуюсь, что
вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложнсть
нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но
осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову"; по-видимому,
под "потревоженными осами" Гаусс имел в виду сторонников традиционных
взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий.