Петр Алексеевич Широков
П.А.Широков И Неевклидова Геометрия
К началу творческой деятельности П.А.Широкова открытая Лобачевским
неевклидова геометрия пополнилась исследованиями Римана, Белътрами,
Кэли, Клейна, Ли, Гильберта, Котельникова и Штуди. Возникли понятия
обобщенных многообразий, в структуре которых неевклидовы пространства
заняли подобающее им место. Открылись возможности применения к
неевклидовым геометриям и, в частности, к геометрии Лобачевского новых
тензорных, инвариантно-групповых методов и обогащения на этом пути
упомянутых геометрий новыми результатами. Это блестяще реализовал в
своём первом научном труде П.А.Широков, представив на факультет
сочинение "Интерпретация и метрика квадратичных геометрий", удостоенное золотой медали и
рекомендации к печати. Оно увидело свет лишь посмертно [33}. Отмечая два
направления в развитии геометрии - метод интерпретации и
аксиоматический метод, автор делит свой обширный (165 с.) труд
соответственно на две части. В первой в основу положена интерпретация
планиметрии Лобачевского на верхней полуплоскости комплексного
переменного, указанная Пуанкаре. Изучаются свойства группы движений
плоскости Лобачевского, находятся операторы группы и инвариантная
метрика. Особое внимание в работе уделено метрике идеальной области
плоскости Лобачевского и её тождественности "4-й геометрии Пуанкаре",
которую автор называет "странной". Аналогичные задачи далее решаются и в
трехмерном пространстве Лобачевского с последующим переходом к
многомерным обобщениям, что явилось очевидным заделом к будущим
исследованиям автора в области обобщенных пространств. Во второй части
работы устанавливается аксиоматика проективного пространства,
развивается его аналитическая геометрия, вводятся поляритет и
проективные метрики различных типов, включая вырожденные полярности.
Список использованной литературы содержит более 50 наименований и
свидетельствует о глубоком знакомстве автора с современными ему
мировыми работами по неевклидовым геометриям.
В работе [1] инвариантно-групповые методы применяются к конформным
преобразованиям эллиптического и гиперболического пространств.
Показано, что инфинитезимальные преобразования таких пространств
слагаются из мгновенного винтового перемещения и лучистого расширения из
некоторого центра. Изучено поле скоростей таких преобразований, его
дивергенция и ротор.
В небольшой по объему заметке [2] на плоскости Лобачевского доказана
теорема о равенстве сумм длин сторон четырехугольника с попарно
параллельными сторонами, лежащих по одну сторону от диагонали,
разделяющей бесконечно-удаленные точки сторон. Для вписанного в круг
четырехугольника получен неевклидов аналог теоремы Птолемея.
В [3} определяется понятие векторной площади в пространствах Римана и
Лобачевского, изучаются её свойства на ряде примеров и в особенности
применительно к параллелограмму Клиффорда и замкнутому контуру на
цилиндре Клиффорда. Теорема Гульдина (Гюльдена) относительно объема
тела вращения переносится с использованием понятия векторной площади на
упомянутые неевклидовы пространства.
Работа [4] посвящена линейчатой геометрии трехмерного пространства
Лобачевского, Фиксируя связку параллелей иорисферу, ортогонально
секущую эту связку, автор задаёт на орисфере прямоугольные координаты
(х, у), позволяющие всякой точке абсолюта сопоставить комплексное число
у» — хНу. Тогда любая прямая определяется парой точек абсолюта - её
аффиксами. Движениям пространства Лобачевского отвечают дробно-линейные
преобразования аффиксов, откуда следует принцип перенесения
Котельникова — Штуди, в силу которого прямая пространства Лобачевского
изображается точкой на единичной комплексной сфере. Пара прямых задаёт
на этой сфере комплексную дугу как меру комплексного угла между
прямыми. Записывая эти углы для сторон плоского треугольника, автор
приходит к формулам тригонометрии плоскости Лобачевского. Аналогичным
путем он получает и некоторые соотношения для четырехугольников. В [7]
разбирается теория кривых и линейчатая геометрия трехмерного
пространства постоянной положительной кривизны, т.е. эллиптического
пространства. Для кривой рассматривается полярная ей кривая и
показывается, что их главные нормали полярны, бинормали совпадают.
Строятся клиффордовы параллели (левые или правые) всем касательным,
главным нормалям и бинормалям исходной кривой, проходящие через
фиксированную точку я, и изучаются свойства линий, служащих
пересечением полученных линейчатых поверхностей с полярой точки я, а
также инварианты этих линейчатых поверхностей. Полученные результаты
применяются к кривым Бертрана с общими главными нормалями, винтовым
линиям, кривым с общей бинормалью и кривым, у которых касательные
принадлежат линейному комплексу.
В дальнейшем П А.Широков переходит к изучению дифференциальной геометрии
более общих римановых и аффинно-связных пространств. Но поскольку его
внимание более всего занимают пространства, наиболее близкие к
неевклидовым, то он периодически возвращается к случаям, когда кривизна
пространства оказывается постоянной. Так, в [8] изучаются сферы в
римановом многомерном пространстве и анализируется вопрос: когда эти
сферы обладают исключительно шаровыми точками? Показано, что это имеет
место тогда и только тогда, когда пространство имеет постоянную
кривизну. Только в этом случае все сферы являются многообразиями
постоянной кривизны. В [11] установлено, что параллельный перенос
Леви-Чивита в пространствах постоянной кривизны обладает следующим
свойством: кривая, вдоль которой параллельно переносится прямая, служит
второй стрикционной линией образованной линейчатой поверхности, которая
будет торсом (исключение составляют поверхности с параллельными
образующими в про-странстве Лобачевского и цилиндры Клиффорда в
эллиптическом пространстве). Изучается также квазипоступательное
перемещение твердого тела в неевклидовом пространстве, при котором
каждая прямая связки с центром на кривой при параллельном переносе вдоль
кривой остаётся параллельной себе.
Проблемы неевклидовой механики занимают П.А. Широкова и в дальнейшем.
Так, в [13] он изучает преобразование винтовых интегралов в
пространствах Лобачевского и Римана и приходит к выводу о том, что оно
происходит по формулам, хотя и более сложным, но вполне аналогичным тем,
которые имеют место в пространстве Евклида. В [16] автор изучает цепную
линию в пространстве Лобачевского, интегрируя уравнения равновесия
нерастяжимой нити в поле параллельных сил.
В [20] показано, что пространство Шура, допускающее более широкую группу
движений, чем основная, имеет при наличии центра постоянную кривизну. В
[21] автор изучает сходящиеся направления в пространствах постоянной
кривизны и выделяет кривые, сходящиеся направления вдоль которых
удовлетворяют заданным свойствам. В [25] показано, что
конформно-евклидово приводимое пространство ненулевой кривизны
разлагается на два пространства постоянной кривизны, а если одно из них
одномерно, то второе — постоянной кривизны. Изучая в дальнейшем
симметрические пространства 1-го класса [29] и проективно евклидовы
[28], П.А.Широков последовательно выделяет в них те препятствия, которые
отличают эти пространства от неевклидовых.
22
К собственно геометрии Лобачевского Петр Алексеевич снова возвращается
впоследствии в связи с приближающейся полуторавековой годовщиной
великого геометра (в то время ошибочно считалось, что он родился в 1793
г.). Этой дате он посвятил мастерски изложенный текст небольшой (объемом
около 4 печатных листов) книги "Краткий очерк основ геометрии
Лобачевскоо", которая потом неоднократно переиздавалась, в том числе и
в английском переводе. Она и до сих пор служит основой для изучения
студентами курса "Основания геометрии", теперь уже основательно
урезанного, но все же сохранившегося в учебных планах университетской
специальности "Математика". Поскольку эта книга заранее планировалась
как общедоступное изложение неевклидовой геометрии, то автор опирается
в ней только на те знания читателя, которые составляют основу школьного
курса математики, помещая необходимые сведения, выходящие за эти рамки,
в подстрочные примечания. В главе I вводится дефект треугольника,
показывается его неотрицательность и зависимость от постулата
параллельных Евклида или Лобачевского, а также связь с теорией подобных
фигур. Глава II посвящена свойствам параллелей Лобачевского, а в главе
III разбирается взаимное расположение параллельных, пересекающихся и
расходящихся прямых. Пучки прямых и простейшие кривые изучаются в главе
IV. Здесь автор опирается на теорему, доказанную им еще в [33]:
перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через их середины,
принадлежат одному пучку. Это позволяет автору определить окружность,
эквидистанту и орицикл как классы эквивалентности относительно пучка
прямых соответствующего типа, где эквивалентность пары точек означает их
симметрию относительно прямой пучка. Подробно разбираются свойства
концентрических предельных дуг, скорость убывания которых в направлении
параллелизма определяет радиус кривизны плоскости Лобачевского как её
абсолютную меру длины. В главе V изучаются основы стереометрии
пространства Лобачевского применительно к плоскостям, прямым, связкам
прямых и плоскостей, а также к простейшим поверхностям — сферам,
гиперсферам и орисферам, которые снова определяются как классы
эквивалентности точек относительно соответствующей связки. Опираясь на
тот факт, что на орисфере имеет место планиметрия Евклида, автор в главе
VI переводит формулы тригонометрии на орисфере в аналогичные на
плоскости Лобачевского (последние, конечно, могут быть получены и без
выхода в пространство, но это потребовало бы вывода сначала так
называемых латентных соотношений — очень трудоёмкий и малообозримый
путь, осуществленный на основе работ Лобачевского в фундаментальном
труде В.Ф.Кагана). Для написания полного комплекта формул прямоугольного
треугольника формулируется аналог правила Непера, выводятся теоремы
синусов и косинусов для произвольного треугольника и основная формула
Лобачевского, выражающая угол параллельности как функцию отрезка
параллельности. Из этих соотношений непосредственно вытекает, что
евклидова геометрия служит предельным случаем геометрии Лобачевского и
последняя реализуется на сфере чисто мнимого радиуса. Глава VII
содержит краткое изложение методики развития аналитической и
дифференциальной геометрии и их приложений к теории площадей и объемов в
геометрии Лобачевского. В заключительной главе VIII посредством
отображения плоскости на орисферу строятся интерпретации Белътрами,
Кэли-Клейна и Пуанкаре. В целом книга настолько ёмка, что к ней вполне
подходит афоризм М.Горького "словам тесно, а мыслям — просторно".
Другой, приуроченной к юбилею Лобачевского работой, написанной уже
основательно больным Петром Алексеевичем, является научно-популярная
статья [27]. В ней автор отмечает ряд аспектов творчества великого
геометра и анализирует историю развития в течение двух тысячелетий
проблемы 5-го постулата, в которой идеи Лобачевского поставили
завершающую точку. Признавая существенную сложность и необычность
геометрии Лобачевского в сравнении с евклидовой, он указывает, что тем
не менее эти геометрии находятся в полном согласии между собой. На пути
развития интерпретаций и аксиоматики обоснована непротиворечивость
неевклидовой геометрии и возникли новые геометрии: неархимедова,
недезаргова, непаскалева, нележандрова и др. Автор делает обзор
экспериментов Лобачевского и позднейших изысканий по выяснению того,
какая геометрия имеет место в реальном мире. Он заключает, что
пространство Лобачевского служит первым приближением для решения
космологических проблем. Тем самым геометрия Лобачевского наносит
сокрушительный удар по философским концепциям Канта об априорных
представлениях о пространстве, якобы существующих в человеческом
сознании. Отмечается, что если даже геометрия Лобачевского окажется
неприменимой к физическому пространству, то во всяком случае она служит
одной из обобщающих абстрактных систем, получающих все новые
разнообразные при-ложения в теоретической математике, а через неё и в
прикладных науках. Это подтверждается применением геометрии Лобачевского
к определённым интегралам и автоморфным функциям, ключом к теории
которых, по утверждению Пуанкаре, служит геометрия Лобачевского.
Дальнейшее развитие физики подтвердило этот тезис: пространство
скоростей специальной теории относительности, как показал А.
П.Котельников, подчиняется законам геометрии Лобачевского. В заключение
отмечается высокое искусство Лобачевского производить сложнейшие
вычисления, решать прикладные задачи и оценивать возможные погрешности.
По инициативе Петра Алексеевича на юбилейных торжествах памяти
Н.ИЛобачевского, которые в 1943 г., несмотря на тяжелые условия военного
времени, были проведены в Казанском университете, было принято
постановление о публикации полного собрания сочинений великого
геометра. К сожалению, судьба распорядилась так, что реализация этого
его замысла в послевоенные годы выпала на долю его коллег и учеников.